I/ GPS et relativité

1) Le GPS sans relativité :

Un GPS permet de se localiser n'importe où sur Terre à n'importe quel moment grâce à un réseau de satellites disposés en orbite autour de la Terre. Le GPS était au départ un outils militaire américain pour pouvoir envoyer des missiles à des positions très précises. Le système GPS est séparé en 3 secteurs :

• la partie satellite qui grâce à la triangulation et aux horloges atomiques localise la position du GPS ;
• la partie contrôle au sol qui met à jour les satellites et règle les horloges atomiques ;
• et la partie récepteur qui reçoit le signal GPS et permet à l'utilisateur de se localiser.

Pour que le système GPS fonctionne, il y a une constellation de 24 satellites (plus quelques satellites de rechange) qui sont répartis sur 6 plans (donc 4 satellites sur une même orbite) pour avoir au moins 4 satellites toujours visibles au-dessus de n'importe quelle position sur Terre (et jusqu'à 12 en même temps). Ils ont une période d'environ 12h, c'est-à-dire qu'ils font le tour de la Terre en 12h, donc ce ne sont pas des satellites géostationnaires. Ils sont à une altitude d'environ 20 200 Km et vont à une vitesse de 14 000 Km/h. Leur orbite est proche de celui d'un cercle.

Schéma d'une constellation de satellites          

^{CC-BY-SA 4.0 - 27 February 2016}              

Dans le monde entier des stations au sol surveillent et mesurent les orbites et les paramètres de correction de l'horloge des satellites.

Le récepteur GPS donne à l'utilisateur des informations sur la position, la vitesse et l'heure du récepteur.

La Russie a sa propre constellation de satellites qui ne s'appelle pas GPS mais GLONASS.

L'Europe a organisé un projet (une mission) qui consiste à envoyer 30 satellites à une altitude de 23 000 Km pour créer une nouvelle constellation de satellites qui permettra au système GPS d'être encore plus précis. C'est le projet GALILEO. Le système sera opérationnel en 2020. L'Europe sera ainsi indépendante de GPS américain. Les 4 premiers satellites ont été envoyés en 2011-2012. Ce nouveau système servira pour tout les transports, pour des opérations de secoure et militaire. Plus d'informations sont disponibles sur le site du CNES : https://galileo-mission.cnes.fr/fr.

^{Domaine public - 29 mars 2007}

La Chine aussi a aussi organisé un projet appelé "Compass" qui consiste à faire leur propre constellation de satellites composé de 35 satellites.

Nous verrons dans la partie "trilatération" qu'il faut au moins 3 satellites pour se géolocaliser (en sachant que le récepteur est sur terre). En réalité il en faut 4 ou plus pour que le système GPS fonctionne correctement (plus il y a de satellites, mieux c'est). Il y a 3 raisons principales d'en avoir 4 ou plus :

• dans un environnement urbain où les immeubles peuvent perturber la signal GPS de certains satellites, le fait d'avoir 4 satellites ou plus permet d'avoir plusieurs différents angles;
• cela améliore la précision du GPS, c'est la fusion des données;
• et pour finir au cas où un satellite ne fonctionne plus ou rencontre des problèmes techniques.

Après avoir vu comment fonctionne le système GPS, nous allons nous intéresser à la relativité restreinte, à la relativité générale et à leurs conséquences.

2) La Relativité restreinte :

a.      Notion de relativité et de référentiel

Avant de parler de la relativité galiléenne et restreinte, il est important de comprendre avant certaines notions :

• Mouvement rectiligne uniforme : déplacement en ligne droite à vitesse constante (sans accélération ni décélération) et soumis à aucune force.
• Référentiel : un référentiel permet de donner des coordonnées (x;y;z;t) à un événement dans l'espace (x;y,z) et dans le temps (t), de calculer une vitesse, une durée et une distance. Il a un repère et une origine. 
• Référentiel Galiléen/inertiel : référentiel dans lequel tout corps soumis à aucune force est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme (donc lorsque la loi d'inertie est valable).
• Evénement : action qui se passe à un endroit et à un moment précis avec des coordonnés précises (x;y;z;t) dans un référentiel donné.

b.      La relativité Galiléenne

La relativité commence avec Galilée au XVII^ème siècle. En effet il explique que les résultats d'expérience effectuées dans un endroit en mouvement rectiligne uniforme sera les mêmes que dans un endroit au repos "absolu", donc on ne peut pas distinguer de différences lorsqu'on est plus ou moins en mouvement rectiligne uniforme : c'est la relativité Galiléenne. Les lois de la physique sont alors les mêmes dans tous les référentiels Galiléen.

Pour passer d'un référentiel R à un autre R', il propose la loi de transformation de Galilée :

x'=x-U_xt

y'=y

z'=z

t'=t

x' est la coordonnée dans le deuxième référentiel / x la coordonnée du premier référentiel / U la vitesse relative (la vitesse du référentiel par rapport au deuxième référentiel en m/s) / t le temps écoulé (en seconde)

Graphique de deux référentiels en mouvement rectiligne uniforme

Avec la loi de transformation de Galilée, on peut en déduire que :

• les distances sont absolues (ce sont les mêmes dans chaque référentiels) -> d'=d ;
• les durées sont absolues (ce sont les mêmes dans chaque référentiels) -> t'=t ;
• et que les vitesses sont relatives et s'additionnent -> v'=v+U

C'est la loi de composition des vitesses.

Par exemple si je suis dans un avion allant à 1000 Km/h par rapport au sol et je marche dans celui-ci à la vitesse de 5 Km/h, alors je vais à 1005 Km/h par rapport au sol (1000+5=1005).

Pour en conclure, selon Galilée l'espace et le temps sont absolues et la vitesse est relative.

c.      Les équations de Maxwell et l'expérience de Michelson et Morley

C'est à partir du XIX^ème siècle que la relativité galiléenne est remise en cause. En effet c'est d'abord Maxwell qui affaiblit la relativité Galiléenne grâce à des équations sur l'électromagnétisme :

On n'expliquera pas ces équations mais ici l'onde électromagnétique va environ à 3,0×10⁵ Km/s = c. Il faut savoir qu'à l'époque on pensait à l'existence de l'éther, une substance censée être au repos par rapport à l'espace absolu et osciller au passage d'une onde électromagnétique. Or la relativité galiléenne est incompatible avec ces équations car elles impliquent que la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels. Or nous avons vu précédemment que la vitesse est relative. Donc soit les équations de Maxwell sont fausses, soit la relativité Galiléenne est fausse. A la fin du XIX^ème siècle une autre expérience va remettre en cause la relativité de Galilée : c'est l'expérience de Michelson et Morley.

Le but de l'expérience de Michelson et Morley était de détecter des variations de la vitesse de la lumière suivant l'orientation de la direction de la lumière par rapport au mouvement de la Terre. Voici un schéma de l'expérience en question :

Schéma de l'expérience de Michelson et Morley

Le résultat de cette expérience est que la vitesse de la lumière ne varie pas. Ils en conclure que l'éther n'existe pas. Cette expérience confirme alors que la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels.

Au début du XX^ème siècle, on avait alors les équations de Maxwell et l'expérience de Michelson et Morley qui disaient que la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels (donc elle ne varie pas), et on avait la relativité Galiléenne qui dit que les vitesses sont relatives et se composent en s'additionnant. C'est Einstein qui mettra un terme à ce questionnement en remplaçant la transformation de Galilée par la transformation de Lorentz.

d.      Transformation de Lorentz et composition des vitesses

Pour rappel la transformation de Galilée (la formule permettant de passer d'un référentiel à un autre) est : x'=x-U_xt ; t'=t ; y'=y et z'=z.

Or ces formules ne prennent pas en compte que la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels.

Einstein propose alors d'utiliser une nouvelle transformation, la transformation de Lorentz :

 soit x'=(x-Ut) et t'=(t-U/c²) avec =1/(√(1-U²/c²)) appelé le facteur de Lorentz.

Ces formules fixent une limite de la vitesse : la vitesse de la lumière (soit c).

On peut aussi remarquer que comme la vitesse maximale est la vitesse de la lumière, alors la loi de composition des vitesses de Galilée est fausse. En effet si nous sommes dans un avion allant à 1000 Km/h et on allume une lumière allant dans la même direction que l'avion, la lumière n'ira pas à 300000,27 Km/s mais toujours à 3,0×10⁵ Km/s.

Par le calcul on peut donc trouver une nouvelle loi de composition des vitesses :

• pour additionner des vitesses : v'=(v+U)/(1+vU/c²)  (en m/s)
• pour les distances : L'=L/  (en m)
• et pour les durées : T'=T  (en s)

Grâce à ces formules, la vitesse maximale sera toujours c (la célérité). Reprenons l'exemple avec l'avion et appliquons la nouvelle loi de composition des vitesses :

v'=((3,0×10⁸)+277)/(1+(3,0×10⁸)×277/(3,0×10⁸)²) = 3,0×10⁸ m/s, cette équation respecte bien les équations de Maxwell.

Cette nouvelle loi de composition des vitesses a d'énormes conséquences. En effet avec quelques calculs, on peut en déduire que lorsque la vitesse est très faible par rapport à la lumière, ≈1. En revanche si la vitesse d'un objet s'approche de celle de la lumière, >1. Par exemple si v=50% de c, alors ≈1,15. Cela veut donc dire que les distances et les durées ne seront pas les mêmes selon le référentiel car dans les formules ils dépendent de , donc de la vitesse du référentiel U. Les distances et les vitesses sont alors relatives et non plus absolue, ce qui a pour conséquence des phénomènes dont l'un d'entre eux nous intéresse pour comprendre le manque de précision des GPS, c'est la dilatation du temps. Nous verrons cela après un petit récapitulatif de la relativité restreinte.

e.      Le principe de la relativité restreinte

La relativité restreinte a été créé par Albert Einstein en 1905. Elle repose sur plusieurs principes :

• tous les référentiels Galiléens sont égaux face aux lois de la physique ;
• la lumière se propage dans le vide en ligne droite à une vitesse constante c (appelé la célérité) dans tous les référentiels ;
• les autres vitesses sont relatives et ne peuvent dépasser la vitesse c ;
• pour changer de référentiel on utilise la transformation de Lorentz ;
• les distances sont relatives ;
• les durées sont relatives ;
• la simultanéité est relative ;
• les équations de Maxwell et l'expérience de Michelson et Morley sont compatible ;
• l'éther, la transformation de Galilée, la loi de newton etc... ne sont pas compatibles.

Comme nous l'avons dit précédemment, les durées et les distances sont relatives ce qui a pour conséquence 2 phénomènes : la contraction des longueurs et la dilatation du temps. Nous n'allons pas traiter la contraction des longueurs dans ce TPE car on s'éloignerait un peu de la problématique même si le sujet est fort intéressant. Si vous voulez vous renseigner sur la contraction des longueurs, vous pouvez consulter ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Contraction_des_longueurs

Ce qui nous intéresse ici pour le GPS, c'est la dilatation du temps.

f.      Dilatation du temps

L'intervalle de temps entre 2 événements se produisant à différents moment t et t'  et se situant à la même position (x;y;z) dans un référentiels est absolu, mais relatif par rapport à d'autres référentiels. En effet dans un autre référentiel se déplaçant à une autre vitesse U', l'intervalle de temps entre deux événements sera plus long (plus lent) que dans le premier référentiel. Plus la vitesse U du premier référentiel est élevée par rapport au second, plus l'intervalle de temps entre les deux événements sera long dans le deuxième référentiel.

Prenons un exemple concret : on prend une ampoule qu'on place dans une fusée allant à 50% de la vitesse de la lumière et en mouvement rectiligne et uniforme (bon c'est pas très concret mais c'est pour mieux se rendre compte du phénomène), on l'allume et on l'éteint au bout de 10 secondes dans le référentiel de la fusée. Maintenant prenons un autre référentiel, celui du spectateur : disons qu'il est dans une autre fusée allant à 50% de la vitesse de la lumière et en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à la première fusée.

Calculons grâce à la loi de composition des vitesse la durée pendant laquelle la lampe est resté allumé :

Formule concernée : T'=T

Données : T=10 s

On avait dit précédemment que lorsque U = 50% de la vitesse de la lumière (c'est à dire environ 150 000 Km/s), alors  ≈ 1,15.

Schéma de  par rapport à U :

Graphique de  par rapport à la la vitesse (avec c comme maximum)

Donc T' ≈ 1,15 × 10 ≈ 11,5 secondes. Du point de vu de l'observateur se situant dans le second référentiel, la lampe est restée allumé pendant environ 11,5 secondes, et non 10 secondes. C'est la dilatation du temps. 

g.      Exemple avec le paradoxe des jumeaux

Prenons deux jumeaux : un reste sur Terre et le second prend une fusée allant à 80% de la vitesse de la lumière (c'est-à-dire environ 240 000 km/s). Il décide ensuite de retourner sur Terre après 30 ans, mais une fois arrivé sur Terre il apprend que son frère jumeau n'a pas 30 ans mais 50 ans !

Représentation graphique de la situation :

Ce n'est pas le fait que le jumeau qui est dans la fusée va à 80% de la vitesse de la lumière qui le rend plus jeune que son frère car on a vu précédemment que la vitesse est relative, c'est-à-dire qu'il pourrait bien aller à 10 000 Km/h par rapport à quelqu'un ou à 10 Km/h par rapport à quelqu'un d'autre. C'est plutôt le fait qu'il change de direction, donc il n'est pas en mouvement rectiligne uniforme tout au long de son périple. Il change de référentiel. Celui qui est sur Terre ne subit pas de décélération ni d'accélération, alors que le deuxième jumeau si, pour pouvoir faire demi-tour. Cette solution a été choisi par la plupart des scientifiques mais elle reste un paradoxe sans vrai solution.

Après avoir vu un premier phénomène, la dilatation du temps, nous allons voir un autre phénomène : l'effet Einstein, qui lui vient de la relativité générale.

3) La relativité générale :

a.      L’histoire de la gravitation

La théorie de la relativité générale a été créée par Albert Einstein en 1915, donc 10 ans après la relativité restreinte. C’est une théorie sur la gravitation.

La première théorie est émise par Galilée (encore lui). En effet en 1604 il propose une loi assez simple : lorsqu'un objet tombe, celui-ci gagne de la vitesse en fonction du temps de chute ; soit : vitesse = constante × temps écoulé. Plus il tombe, plus il prend de la vitesse. Le poids de l’objet n’est pas pris en compte car, dans un milieu sans frottement (sans air), deux objets de poids différent subissant la même force d’attraction arrivent au sol en même temps. Il en conclue ensuite que la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps écoulé. Soit : distance = ½ constante × temps écoulé² (démonstration ici). La constante est G = 9,81 m·s^-2.

En 1687 dans Les principes mathématiques de la philosophie naturelle, Newton explique la loi de l’attraction gravitationnelle (une des quatre interactions fondamentales). Celle-ci indique que l’attraction gravitationnelle entre deux corps ponctuels (plus petit que la distance d qui les sépare) A et B de masse respective m_A et m_B, séparé de distance d, est modélisée par des forces d’attraction gravitationnelle ?_A/B et ?_B/A caractérisé par leur direction, leur sens et leur valeur  avec G = 6,67 × 10^-11 N·m²·kg^-2.?

Représentation des forces gravitationnelles

Près de 230 années s’écoulent avant qu’Albert Einstein n’émette sa théorie. Le problème avec l'attraction gravitationnelle de Newton est qu'elle se propage instantanément, donc si le Soleil disparaissait, la Terre irai instantanément en ligne droite. Or selon Einstein rien ne peut aller plus vite que la lumière, il va alors faire sa propre théorie. 

Cette théorie s’ajoute à la relativité restreinte. En effet la relativité restreinte fonctionne que dans un référentiel galiléen, c’est-à-dire qu’aucune force ne s’applique et les mouvements sont rectilignes et uniformes. Il veut la rendre donc compatible avec la gravitation. 

Il émet comme hypothèse que la gravitation est une déformation de l’espace-temps.

Graphique représentatif de la physique classique par rapport à

la relativité restreinte par rapport à la relativité générale

b.      Le principe de la relativité générale

La théorie de la relativité générale s'appuie sur deux principes :

• Einstein élargit le principe de relativité à tous les référentiels qui sont en chute libre (accélérés ou pas), ce sont les référentiels inertiels. Il explique ainsi que tous les référentiels inertiels sont égaux face aux lois de la physique;
• la masse pesante et la masse inerte sont strictement égales, c'est le principe d'équivalence. Grâce à ça, Einstein a compris que les résultats d'expériences réalisées en chute libre seront les mêmes que dans un espace sans gravité (comme dans l'espace en apesanteur).

La trajectoire naturelle n'est donc plus le mouvement rectiligne et uniforme mais la chute libre (on ne compte plus les forces). Un corps se déplace alors sur une géodésique de l'espace-temps courbe. Un corps courbe l'espace-temps. La courbure de l'espace-temps se propage à la vitesse de la lumière (telle une onde).

Graphique 3D représentant la courbure de l'espace

On peut donc dire que : "courbure" = "masse", donc "courbure" = "énergie" (car Einstein avait démontré que E=mc², soit m=E/c²) ; soit G (tenseur d'Einstein) = T (tenseur énergie - impulsion -contrainte). On n'expliquera pas plus cette égalité assez compliquée mais on peut utiliser la métrique qui décrit la déformation des distances dans l'espace-temps autour d'une masse sphérique. C'est la métrique de Schwarzschild. Plus on est proche de l'objet, plus il déforme l'espace-temps ; plus on s'éloigne de l'objet, moins l'espace-temps est déformé et devient plat.

Après avoir décrit le principe de la relativité générale, Einstein a découvert plusieurs conséquences, dont une qui nous intéresse tout particulièrement pour les GPS, c'est l'effet gravitationnel, appelé l'effet Einstein.

c.      L'effet Einstein

Pour faire simple : plus l'espace-temps est courbé (donc plus on est proche d'un corps massif), moins le temps s'écoule. C'est le décalage gravitationnel des fréquences, soit la dilatation du temps d'origine gravitationnelle. Le décalage relatif entre une horloge à la surface d'une sphère de masse M et de rayon R et une horloge d'altitude h sera donné par : 

(M en kg ; c en m/s ; R en m ; h en m ; G en N⋅m²⋅kg^-2)

Le cas extrême de l'effet Einstein est que lorsqu'on s'approche de l'horizon des événements d'un trou noir, l'espace-temps est tellement courbé, c'est-à-dire que tellement le temps est ralenti que le temps s'arrête.

d.      Exemple avec le paradoxe des jumeaux

Reprenons nos deux jumeaux. Le premier reste sur la Terre et le second prend une fusée pour se mettre en orbite autour de la Terre à 1000 Km d'altitude pendant 1 an.

Données :

G = 6,674 × 10⁻¹¹ m³ · kg⁻¹ · s⁻²

M = 5,972 × 10²⁴ Kg

c = 3,0 × 10⁸ m/s

R = 6,371 × 10⁶ m

h = 1,0 × 10⁶ m

Calcul : 

(6,674×10⁻¹¹×5,972×10²⁴)/(3,0×10⁸)² × (-1/(6,371×10⁶+1,0×10⁶) + 1/6,371×10⁶) ≈ 9,43 × 10^-11

L'écart relatif en fréquence est donc d'environ de 9,43 × 10^-11 seconde chaque seconde à 1000 kilomètre d'altitude par rapport au sol

Donnée :

t = 3600 × 24 × 365,25 = 31557600 s

Calcul :

31557600 × 9,43 × 10^-11 ≈ 3 × 10^-3 s

Donc le deuxième jumeau sera plus vieux d'environ 3 millisecondes que son frère (car sa montre avancera plus vite puisque plus on s'éloigne de la Terre moins le temps est ralentit).